공분산(Covariance)의 성질

공분산(Covariance)의 성질

조건 : X와 Y의 공분산을 Cov(X, Y)라고 할 때

→ Cov(X, Y) = σ_XY

→ X의 평균 = E[X] = μ_X

→ X의 분산 = Var(X) = σ_X²

→ Y의 분산 = Var(Y) = σ_Y²

 

1) Cov(X, X)

    = E[(X-μ_X)(X-μ_X)] = E[(X-μ_X)²] = Var(X)

 

2) Cov(Y, X)

    = E[(Y-μ_Y)(X-μ_X)] = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)] = Cov(X, Y)

 

3) Cov(aX+b, Y)

    = E[(aX+b - E[aX+b])(Y-μ_Y)] = aE[(X-μ_X)(Y-μ_Y)] = aCov(X, Y)

     (이때, E[aX+b]= aμ_X + b)

 

4) Cov(aX+b, cY+d)

    = acCov(X, Y)

 

5) Cov(aX+bY, cX+dY)

    = Cov(aX, cX) + Cov(aX, dY) + Cov(bY, cX) + Cov(bY, dY)

    = acCov(X, X) + adCov(X, Y) + bcCov(X, Y) + bdCov(Y, Y)

    = acVar(X) + (ad+bc)Cov(X, Y) + bcVar(Y)

 

 

---> 평행이동은 의미없고 X와 Y 앞에 있는 계수가 중요