이산형 확률분포(Discrete probability distribution) - 확률질량함수(pmf), 누적 분포 함수(cdf), 기댓값(평균), 분산, 표준편차

이산형 확률분포(Discrete probability distribution)

확률 변수가 취할 수 있는 값들에 확률이 대응되어 있는 것

 

 

확률 질량 함수(probability mass function, pmf)

- 이산형 확률변수에 대응되는 확률 분포를 확률 질량함수라고 함

- f(x) = P(X = x)로 표기하고, 이는 이산형 확률 변수 X가 값 x를 갖는 확률을 의미

 

 

누적 분포 함수(cumulative distribution function, cdf)

- 이산형 확률변수 X의 누적확률분포함수 F(x)는 확률변수 X가 x보다 작거나 같은 확률을 의미

 

누적 분포 함수의 성질

- 0≤F(X)≤1

- F(-∞)=0 and F(∞)=1

- F(x)는 비감소 함수

 

 

기댓값(=평균)

- 기댓값은 확률분포에서 분포의 무게중심을 말함

- 확률 값을 가중치로 하는 확률변수의 가능한 값에 대한 가중 평균이라고 할 수 있음

 

기댓값의 특성

X, Y를 확률변수라고 하고 a, b를 상수라고 할 때, 기댓값은 항상 다음 조건을 만족

1. E(a)=a

2. E(aX+b)=aE(X)+b

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y) : 두 확률변수의 합의 기댓값은 각 확률변수의 기댓값의 합과 같음

4. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

5. E(X²)≠{E(X)}²

 

 

분산(σ²)

- 평균이 확률분포의 무게중신인 데 비하여 분산은 확률분포의 흩어진 정도를 측정하는 것

- 평균이 같다고 해도 분산의 크기에 따라 분포의 모양은 달라짐

- 확률변수 X의 분산은 E(X)=μ라고 할 때, X와 μ의 편차의 제곱

  → (X-μ)²의 기댓값 → E[(X-μ)²]

 

분산의 특성

X를 확률변수라 하고 a, b를 상수라고 할때, 분산은 항상 다음 조건을 만족

1. Var(aX)=a²Var(X)

2. Var(aX+b)=a²Var(X)

 

 

표준편차(σ)

- 분산의 양의 제곱근을 표준편차라고 함

 

 

 

 

출처 : EXCEL, SPSS, R로 배우는 통계학입문/강상욱 외 8인 공저/자유아카데미/2014